Математику ждет революция

Эта дисциплина — идеальный полигон для ИИ.

Казалось бы, открытию в математике предшествует непредсказуемое озарение, но именно «озарению» может быстрее всего научиться ИИ.

Techinsider приводит перевод колонки Томас Финка.

Рождение гипотезы (предложения, которое, возможно, истинно, но нуждается в окончательном доказательстве) может показаться математику моментом божественного откровения. Математические гипотезы — это не просто обоснованные предположения. Их формулирование требует сочетания гения, интуиции и опыта. Даже самому математику сложно объяснить процесс собственного открытия. Тем не менее, как это ни парадоксально, я думаю, что именно в эту область машинный интеллект внесет самые важные изменения.

В 2017 году исследователи из Лондонского института математических наук, директором которого я являюсь, начали применять машинное обучение к математическим данным в качестве хобби. Во время пандемии COVID-19 они обнаружили, что простые классификаторы искусственного интеллекта (ИИ) могут предсказать ранг эллиптической кривой — меру ее сложности. Эллиптические кривые имеют фундаментальное значение для теории чисел, и понимание лежащей в их основе статистики является решающим шагом на пути к решению одной из семи задач тысячелетия, которые выбраны Математическим институтом Клэя в Провиденсе, штат Род-Айленд, и предусматривают приз в размере 1 миллиона долларов США каждая. Мало кто ожидал, что ИИ сможет внести свой вклад в эту игру с высокими ставками.

ИИ проник и в другие области. Несколько лет назад компьютерная программа под названием «Машина Рамануджана» вывела новые формулы для фундаментальных констант, таких как π и e. ИИ сделал это путем исчерпывающего перебора семейств непрерывных дробей — дроби, знаменатель которой представляет собой число плюс дробь, знаменатель которой также является числом плюс дробь, и так далее. Некоторые из этих гипотез ИИ с тех пор были доказаны, тогда как другие остаются открытыми проблемами.

Другой пример относится к теории узлов — разделу топологии, в котором гипотетический кусок веревки запутывается так, что его концы склеваются. Исследователи из Google DeepMind, базирующейся в Лондоне, обучили нейронную сеть на данных для множества различных узлов и обнаружили неожиданную взаимосвязь между их алгебраическими и геометрическими структурами.

Как ИИ изменил ситуацию в областях математики, в которых считалось необходимым человеческое творчество?

Во-первых, в математике не бывает случайностей. В реальных экспериментах много ложно-отрицательных и ложно-положительных результатов. Но в математике один-единственный контрпример гипотезу опровергает. Например, гипотеза Полиа утверждает, что большинство целых чисел меньше любого данного целого числа имеет нечетное количество простых делителей. Но в 1960 году было обнаружено, что эта гипотеза не верна для числа 906 180 359. И гипотеза была опровергнута.

Во-вторых, математические данные, на которых можно обучать ИИ, дешевы. Простые числа, узлы и многие другие типы математических объектов имеются в изобилии. Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS) содержит почти 375 000 последовательностей — от хорошо знакомой последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) до грозной последовательности Занятого Бобра (Busy Beaver) (0, 1, 4, 6, 13, ...), которая растет быстрее, чем любая вычислимая функция. Ученые уже используют инструменты машинного обучения для поиска в базе данных OEIS, чтобы обнаружить непредвиденные связи.

Из сгенерированных синтетических доказательств 9% — со вспомогательными конструкциями. Только примерно 0,05% синтетических обучающих доказательств длиннее, чем среднее доказательство AlphaGeometry для тестового набора задач. Самое сложное синтетическое доказательство имеет впечатляющую длину 247 с двумя вспомогательными конструкциями. Большинство синтетических теорем, как правило, не так элегантны, как теоремы, найденные человеком.

ИИ может помочь нам выявить закономерности и сформировать предположения. Но не все гипотезы одинаково ценны. Они должны улучшить наше понимание математики. В своем эссе «Апология математика» 1940 года Г. Х. Харди объясняет, что хорошая теорема «должна быть такой, которая является составной частью многих математических конструкций, которая используется при доказательстве теорем самых разных типов». Другими словами, лучшие теоремы увеличивают вероятность открытия новых теорем. Гипотезы, которые помогают нам достичь новых математических границ, лучше, чем те, которые дают меньше понимания. Но чтобы различать их, необходимо интуитивно понимать, как будет развиваться сама эта область математики. Такого понимание более широкого контекста ИИ вряд ли достигнет в обозримое время, поэтому ему будет сложно обнаружить действительно ценные гипотезвы.

Но, несмотря на подобные оговорки, у более широкого внедрения инструментов искусственного интеллекта в математику есть много преимуществ. ИИ может открыть новые возможности для исследований.

Ведущие математические журналы должны публиковать больше гипотез. Некоторые из наиболее важных проблем математики, такие как Великая теорема Ферма, гипотеза Римана, 23 задачи Гильберта и многочисленные тождества Рамануджана, а также бесчисленное множество менее известных гипотез сформировали движение математики. Гипотезы ускоряют исследования, указывая нам правильное направление. Журнальные статьи о гипотезах, подкрепленные данными или эвристическими аргументами, ускорят открытия.

В прошлом году исследователи из Google DeepMind предсказали появление 2,2 миллиона новых кристаллических структур. Но еще неизвестно, сколько из этих потенциальных новых материалов стабильны, могут быть синтезированы и имеют практическое применение. На данный момент это в основном задача для исследователей-людей, которые понимают широкий контекст материаловедения.

Точно так же воображение и интуиция математиков потребуются, чтобы понять результаты работы инструментов ИИ. Таким образом, ИИ будет действовать лишь как катализатор человеческой изобретательности, а не как ее заменитель.