Хант был назначен губернатором Фолклендов в 1980 году и управлял ими пять лет. На время его руководства пришлось аргентинское вторжение, во время которого он попал в плен и был вывезен в Уругвай.
Вторжение на острова, которые Буэнос-Айрес до сих пор считает своей территорией, началось с провокации: группа аргентинцев проникла туда под видом рабочих, а затем подняла на острове Южная Георгия национальный флаг. Британские военные потребовали его спустить, и тогда у Аргентины появился повод вступиться за своих граждан.
На островах высадился аргентинский спецназ, который быстро продвинулся и установил контроль над административным центром Фолклендов Порт-Стенли. В итоге Рекс Хант отдал своим солдатам приказ сложить оружие, после чего его самого взяли в плен. Когда аргентинцы были выдворены с Фолклендов, Рекс Хант смог снова вернуться в Порт-Стэнли.
Несмотря на то, что во время вторжения он фактически сдал острова, в Великобритании Хант стал символом борьбы за эту территорию. После отставки с поста губернатора он стал председателем ассоциации Фолклендских островов и президентом фолклендского траста, пишет MercoPress. В 2004 году он ушел из ассоциации и переехал в Йоркшир.
Напряженность в отношениях Великобритании и Аргентины из-за Фолклендов остается до сих пор. Ситуация обострилась из-за того, что британские власти дали разрешение на разработку месторождений нефти в этом регионе. В первой половине 2013 года на островах пройдет референдум о статусе территории. Как утверждают местные власти, население не хочет переходить под управление Буэнос-Айреса.